martes, 3 de mayo de 2016

SEGUNDO PERIODO




SEGUNDO PERIODO



INDICADORES DE DESEMPEÑOS

1. Conoce y aplica los conceptos de criterios de divisibilidad, múltiplos y divisores,
2. Reconoce y utiliza la potenciación entre números naturales aplicando sus propiedades.
3. Halla la raíz de un número natural y aplica sus propiedades.

CONTENIDOS CONCEPTUALES

1.      Teoría de números: Criterios de divisibilidad. Actividad 1.
2.      Múltiplos y Divisores. Actividad 2.
3.      Números primos y compuestos. Actividad 3.
4.      Descomposición factorial. Actividad 4.
5.      Mínimo común múltiplo. Actividad 5.
6.      Máximo común divisor. Actividad 6.
EVALUACION 1
7.      Potenciación y propiedades. Actividad 7.
8.      Radicación y propiedades. Actividad 8.
9.      Logaritmación y propiedades. Actividad 9.
EVALUACION 2

FECHAS IMPORTANTES

NOTA COGNITIVA (SABER 50%)
·        EVALUACIÓN 1 => ABRIL 25 AL 29.
·        EVALUACIÓN 2 => MAYO 23 AL 27.
·        ACUMULATIVA (EVALUACION DE NIVELACION) => MAYO 31 A JUNIO 3.
NOTA PROCEDIMENTAL (HACER 25%)
·        TALLER PRE-EVALUACIÓN 1 => ABRIL 25 AL 29.
·        TALLER PRE-EVALUACIÓN 2 => MAYO 23 AL 27.
·        REVISIÓN DE APUNTES => MAYO 31 A JUNIO 3.
NOTA ACTITUDINAL (SER 25%)
·        AUTO-EVALUACION => MAYO 31 A JUNIO 3.
·        REVISION ACTITUDINAL => MAYO 31 A JUNIO 3.
1.     TEORIA DE NUMEROS
La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números.
Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Los más utilizados son los primeros 10 números en matemática elemental y se describen a continuación:
1.    Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si su última cifra la de las unidades es 0 o cifra par.
Ejemplos:
Son números divisibles por 2: 36, 94, 521 342, 40.
2.     Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.
Ejemplos:
Son números divisibles por 3: 36, 2 142, 42.
Porque 3+6=9 2+1+4+2=9 4+2=6, son múltiplos de 3.
3.     Criterio de divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 si sus últimas dos cifras son ceros o múltiplos de cuatro.
Ejemplos:
Son números divisibles por 4: 36, 2 144, 4200. Porque sus dos últimas cifras son múltiplos de 4.
4.     Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0.
Ejemplos:
Son Números divisibles por 5: 35, 2145, 400.
5.     Criterio de divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.
Ejemplos:
Diga si los siguientes números son divisibles por 6 y explique:
456 = Es divisible por 6, porque es divisible por 2 y la suma de sus dígitos es 15 que es múltiplo de 3.
5833 = no es divisible por 6 porque no es divisible por 2 ni por 3.
5834= no es divisible por 6 porque es divisible por 2 pero no por 3, porque la suma de sus dígitos es 20, y este número no es múltiplo de 3.
6.     Criterio de divisibilidad por 7
Para saber si un número es divisible por 7, se multiplica por 2 la cifra de las unidades y el resultado se resta al número que forman las cifras restantes.
Este proceso se repite hasta que la diferencia esté formada por una o dos cifras. Si estas cifras son cero o forman un número múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7.
Ejemplo:
El número 7 861 es divisible por 7?
1. 786 – 2 · 1 = 784
2. 78 – 2 · 4 = 70
70 es múltiplo de 7, luego 7.861 también lo es.
7.     Criterio de divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8 si las tres últimas cifras son ceros o divisibles por ocho.
Ejemplos:
Diga si los siguientes números son divisibles por 8 y explique ¿por qué?
1456 =Si es divisible por 8 porque sus últimas 3 cifras son múltiplos de 8.
456/8 = 57
23000 = Si es divisible por 8 porque sus 3 últimas cifras son ceros.
8.     Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplos:
Son números divisibles por 9: 495 porque 4+9+5=18 y 18 es múltiplo de nueve.
53640 porque 5+3+6+4+0= 18 que es múltiplo de 9.
9.     Criterio de divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10 si su última cifra es cero.
Ejemplos: 970, 76000, son divisibles por 10 porque terminan en cero.
10.  Criterio de divisibilidad por 11
Para saber si un número es divisible por 11, debemos hacer lo siguiente:
Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es divisible por 11.
Ejemplos:
Son múltiplos de 11: 2 343 649,porque 2+4+6+9=21 y 3+3+4=10 y 21-10=11 9889, porque 9+8=17 y 8+9=17 y 17-17=0,
18161902, porque 1+1+1+0=3 y 8+6+9+2=25 y 25 -3=22 y es múltiplo de 11.
Para 6-5 : Tres sellos por realizar investigación de criterios hasta el número 13.

ACTIVIDAD 1.
Escribe si los siguientes números son divisibles por 2,3,4,5,6,7,8,9,10 o 11, marca con una X si es divisible y realiza la división exacta.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
45
77
121
96
200
2.     MULTIPLOS Y DIVISORES
 El conjunto de los Múltiplos de un número se representa con la letra M y como subíndice el número natural del cual se obtienen los Múltiplos, este es un conjunto infinito de elementos.
Ejemplo: Escribe el conjunto de los múltiplos de 18, nombra 5 de ellos.
M18 = { 0, 18, 36, 54, 72, …,∞}
18x0 = 0
18x1 = 18
18x2 = 36
18x3 = 54
18x4 = 72
Los divisores de un número natural son aquellos números naturales que dividen exactamente al número. Los múltiplos de un número natural, son cada uno de los productos obtenidos al multiplicar ese número con todos los números naturales.
El conjunto de los divisores de un número se representa con la letra D y como subíndice el número natural del cual son los divisores, este es un conjunto finito de elementos.
Ejemplo: Encontrar todos los divisores del número 18:
D18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Es finito porque se puede determinar la cantidad total de elementos.
ACTIVIDAD 2.
Halle el conjunto de todos los divisores y múltiplos (Nombra 5 múltiplos) para los siguientes números.
a. 12.
b. 25.
c. 128.
d. 238.
3.     NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Un número es primo cuando solamente tiene dos divisores (el uno y si mismo), y es compuesto cuando tiene más de dos divisores.
Ejemplo: El número 7 es primo porque solo es divisible por 1 y por 7.
El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.
ACTIVIDAD 3 en clase.
Utiliza los criterios de divisibilidad para saber que números son primos del 2 al 100, y emplea la criba de Eratóstenes para verificar los números primos hallados.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Números primos menores que 100 son los siguientes: “2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97”.[
4.     DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL.
Consiste en expresar un número como producto de factores primos. Si alguno de estos se repite se pone en forma  potencial.

Todo número natural N se puede expresar de forma única como N = aα·bβ·cγ·dδ...   donde   a, b, c, d, ...   son los números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13...)  y  α, β, γ, δ, ...  sus  exponentes.

Pasos a seguir:

Se dibuja un segmento vertical; a la izquierda se escribe el número a descomponer y a la derecha el menor número por el que es divisible aplicando  para ello las reglas de divisibilidad empezando por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... etc; si no es divisible por 2, se sigue con el 3; si no es divisible por 3, con el 5  y así sucesivamente. 

Debajo del número que estamos factorizando (descomponer en factores primos) se escribe el cociente de la primera división exacta y se reitera el proceso hasta que obtengamos un cociente primo, que  al dividir por él,  conseguimos el último cociente que es  1. El producto de los números de la derecha es su descomposición factorial.

Ejemplo 1: Descomponer en factores primos 180:

180 es divisible por 2, (lo colocamos a la derecha del segmento en la misma línea de 180) cuyo cociente es 90, que ponemos debajo de 180.
Reiteramos ahora con 90, que también es divisible por  2 (en la misma línea que 90 y a la derecha del segmento) y de cociente 45, que situamos debajo de 90.
Repetimos con  45 que no es divisible por 2 porque termina en 5, que  no es  0 ni  cifra par; si lo es por 3 porque la suma de sus cifras (4 + 5 = 9) es múltiplo de  3 que significa divisible por 3 y cuyo cociente es 15 y así sucesivamente.
Ejemplo 2: Factorizar (en factores primos) 420:

420 es divisible por 2 (lo colocamos a la derecha del segmento) cuyo cociente es 210, que ubicamos debajo de 420.
Repetimos pero con 210  divisible por  2 (lado derecho del segmento) con 105 de cociente  que ponemos debajo de 210.
Reiteramos con  105 que no es divisible por 2; probamos con 3 y vemos que es divisible (la suma de sus cifras  1 + 0 + 5 = 6 múltiplo de  3) con cociente 35.
Seguimos con 35; pero ya no probamos con el 2, ya que anteriormente 105 no era divisible por 2. Tampoco es divisible por 3 y lo es por 5, cuyo cociente es 7 (número primo).
ACTIVIDAD 4.

Descompón en factores primos los números: 110, 190, 320, 624, 816, 900, 1188, 1260, 1404, 15435.
 5.     MINIMO COMUN MULTIPLO.
 El mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1 Se descomponen los números en factores primos.
2 Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Ejemplos:
Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60:
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
Solución: 
m.c.m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5= 1080
1 080 es el menor múltiplo común a 72, 108 y 60.
1 080 es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60.
ACTIVIDAD 5.
Halla el m.c.m para los siguientes números:
a.     20, 40 y 50
b.    10, 8 y 40
c.     25, 30 y 50
Respuestas: a. 200     b. 40    c.150
Páginas y videos recomendadas:
http://www.vitutor.com/di/di/a_9.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/minimo-multiplo-comun.html
https://www.youtube.com/watch?v=OsaX_IbhxNg
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6. Máximo común divisor.
Se define el máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto.
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.
Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.


          

 48= 2x2x2x2x3       60 =2x2x3x5




El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:


 En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.
Otro método, más fácil que el anterior es empezar por los números primos que los dividan a los tres, hasta que lleguemos a la mitad del menor de los tres.
Ejemplo: Halla MCD de 180 y 60

MCD(180,60)= 2 x 2 x 3 x 5
MCD(180,60)=  60
Cuando son tres lo más los números el método no cambia, y si no hay ninguno que los divida a los tres, entonces este grupo de números no tiene MCD.
Ejemplo:   hallar el MCD de 22, 34, 15.
Como el 2 solo divide a 22 y 34 pero no a 15, no se puede, el 3 solo divide a 15 pero no a los otros, no se puede, por 5, por 7, no se puede, y como el 11 sobrepasa la mitad de 15, entonces estos números no tienen Máximo Común Divisor (MCD).
ACTIVIDAD 6.
Halla el M.C.D para los siguientes números:
a.     20, 40
b.    10, 8 y 40
c.     25, 30 y 50
Respuestas: a. 20      b. 2     c.5
Paginas y videos recomendados:
http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/max_y_min.pdf
http://www.bing.com/videos/search?q=Ejercicios+Maximo+Comun+Divisor&FORM=VIRE1#a
http://www.bing.com/videos/search?q=Ejercicios+Maximo+Comun+Divisor&FORM=VIRE1#view=detail&mid=AC2DD2394A4D3DD7D240AC2DD2394A4D3DD7D240

TALLER PRE-EVALUACION 1

1.      Escribe porque números son divisibles los números: 78 y 100.
2.      Escribe el conjunto de todos los múltiplos y divisores de 78 y 100.
3.      Halla el m.c.m. de 20, 30 y 40.
4.      Halla el M.C.D. de 20, 30 y 40.




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